Szegedi Tudományegyetem - Ahol tudás és szándék találkozik

Bevezetésképpen az egyenlet definícióját kellett tisztázni. Egyenlet alatt azt értjük, amikor egy vagy több matematikai objektumot, például számot, függvényt vagy mátrixot keresünk, amely(ek) bizonyos előre adott feltételeknek tesz(nek) eleget. Néhány példa után pedig közel négyezer évvel tekintettünk viszsza a múltba, és így az előadásban időutazást folytatunk Hammurapi korától a 19. század közepéig.

Egyenletekre, egyenletrendszerekre vezető kérdések már az ókori, folyam menti kultúrákban fölvetődtek, ezek számos esetben olyan megoldási technikákat alkalmaztak, amelyek még ma is jónak bizonyulnak. Közel négyezer éven keresztül föl sem merült, hogy vannak olyan algebrai egyenletek, amelyeknek a gyökei nem kaphatók meg az együtthatókból kiindulva, legföljebb gyökvonásokat alkalmazva. Sőt sokáig hitték, hogy léteznek csak a fokszámtól függő eljárások, azaz leegyszerűsítve gyökképletek, mint például a másodfokú egyenleteké. E problémakör kérdéseire a 19. század közepe óta ismert a teljes válasz.

Néhány nevet mindenképp meg kell említeni a történelmi háttér tekintetében. A 12. században élt Omar Khajjam, aki az egykori források szerint a kor legnagyobb matematikusa volt. „Algebra” című könyve mindmáig alapja a Napkelet és Napnyugat középiskoláiban tanított algebra nevű tantárgynak. Akkoriban felmerülő kérdések voltak: lehetséges-e algebrai módszerekkel is megoldani minden harmadfokú egyenletet, vannak-e olyan geometriai módszerek, amelyekkel negyedfokú egyenleteket lehet megoldani? Az iszlám tudósok szerint a másodnál magasabb fokú egyenletek csak geometriai úton oldhatók meg. Az iszlám matematikusok e vélekedését először a 16. századi itáliai „maestrók” és matematikusok cáfolták meg.

Nagy áttörést jelentett a 16. századi Cardano-képlet megszületése, melynek lényege, hogy a harmadfokú egyenlet valós megoldásait a megoldó-képlettel csak úgy találhatjuk meg, ha a számítás során kilépünk a valós számkörből, és – ha csak átmenetileg is, de – belépünk a komplex számok világába. A harmadfokú egyenlet megoldásának ennélfogva igen nagy a tudománytörténeti jelentősége.

A negyedfokú esetre a megoldóképlet Cardano tanítványától, Ferraritól származik. A megoldás kulcsa egy átalakítás, az egyik oldalon teljes negyedik, a másikon teljes második hatvány kialakítása.

A másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek mindig megoldhatók, és vannak olyan megoldási eljárások, amelyek csak a fokszámtól függenek. A kulcs mindhárom esetben egy-egy eggyel alacsonyabb fokú egyenlet megoldása volt.

Ezután 1798-ban Paulo Ruffini bebizonyította, hogy a negyedfokúnál magasabb fokú algebrai egyenletre nem adható megoldóképlet. Ezt a fontos tételt tőle függetlenül a norvég Abel is felfedezte (Ruffini-Abel-tétel).

A matematikusok fejedelmeként ismert Gauss, korának kétségtelenül legnagyobb matematikusa a 19. században megújította szinte az egész matematikát. Az egyik legfontosabb munkája az először általa igazolt „algebra alaptétele”, mely szerint minden algebrai egyenletnek van gyöke, mégpedig anynyi, mint a fokszáma. Végül Galois elmélete zárta le a magasabb fokú egyenletek algebrai megoldhatóságának több évszázados problémáját, és nyitotta meg a kaput az absztrakt algebra kialakulása felé.